НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ В АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ

Описание

Аннотация

Рассмотрены многообразия, на которых задана аффинная геометрия общего вида с нетривиальным метрикой, кручением и тензором неметричности. В последнее время такие многообразия привлекают большое внимание в связи с построением обобщенных моделей гравитации. В предположении, что все геометрические объекты являются вещественно аналитическими функциями, построены нормальные координаты в некоторой окрестности произвольной точки путем разложения компонент связности и метрики в ряды Тейлора. Показано, что нормальные координаты являются обобщением декартовой системы координат в евклидовом пространстве на случай многообразий с произвольной аффинной геометрией. При этом компоненты произвольного вещественно аналитического тензорного поля в окрестности каждой точки представляются в виде степенных рядов, коэффициенты которого строятся из ковариантных производных, тензоров кривизны и кручения, вычисленных в точке разложения. Для пространств постоянной кривизны ряды просуммированы в явном виде и найдено выражение для метрики в нормальных координатах. Показано, что нормальные координаты задают гладкое сюрьективное отображение евклидовых пространств на пространства постоянной кривизны. Уравнения экстремалей проинтегрированы в явном виде для пространств постоянной кривизны в нормальных координатах. Проанализирована связь нормальных координат с экспоненциальным отображением.Manifolds of affine geometry of general type with nontrivial metric, torsion, and nonmetricity tensor have been considered. These manifolds have recently attracted much interest due to the construction of generalized gravity models. Assuming that all geometric objects are real analytic, normal coordinates have been constructed in the neighborhood of an arbitrary point by decomposing the connection and metric components to the Taylor series. It has been shown that normal coordinates generalize the Cartesian coordinates in the Euclidean space to the case of manifolds with affine geometry of general type. Components of an arbitrary real analytic tensor field in the neighborhood of each point can be expressed as power series with coefficients constructed from the covariant derivatives, curvature and torsion tensors computed at the decomposition point. The power series have been explicitly summed for constant curvature spaces, and an expression for the metric in normal coordinates has been found. It has been shown that normal coordinates define the smooth surjective map of the Euclidean spaces to constant curvature manifolds. Equations for extremals in the constant curvature spaces have been explicitly integrated in normal coordinates. The relation between normal coordinates and exponential map has been analyzed.