Описание

Аннотация

Связь внешней обратной краевой задачи с критическими точками некоторой поверхности является одной из центральных тем теории внешних обратных краевых задач для аналитических функций. В односвязном случае такая поверхность определяется конформным радиусом, в многосвязном она задается радиусом Митюка — функцией Ω( w ), для которой величина M( w ) = (2π)-1ln Ω( w ) представляет собой вариант обобщенного приведенного модуля, предложенный И.П. Митюком. В настоящей работе для произвольной многосвязной области установлена связь кривизны поверхности Ω = Ω( w ) с производными Шварца отображающих функций и с ядерными функциями Бергмана k 0( w,ω) и l 0( w,ω). При переходе к двусвязным областям благодаря выбору кольца в качестве канонической области построены условия, при выполнении которых критические точки радиуса Митюка сосредоточены на линии золотого сечения кольца. Кроме того, показано, что минимально возможный набор критических точек радиуса Митюка в двусвязном случае, состоящий из одного максимума и одного седла, достигается для дробно-линейного решения внешней обратной краевой задачи.Connection of an exterior inverse boundary value problem with the critical points of some surface is one of the central themes in the theory of exterior inverse boundary value problems for analytic functions. In the simply connected case, such a surface is defined by the inner mapping radius; in the multiply connected one, by the function Ω( w ) such that M( w ) = (2π)-1ln Ω( w ) is Mityuk’s version of a generalized reduced module. In the present paper, the relation between the curvature of the surface Ω = Ω( w ) with the Schwarzian derivatives of the mapping functions and with the Bergman kernel functions k 0( w,ω) and l 0( w,ω) is established for an arbitrary multiply connected domain. When passing to two-connected domains, due to the choice of the ring as a canonical domain, we construct the conditions for the critical points of Mityuk’s radius to concentrate on the golden section circle of the ring. Finally, we show that the minimal collection of the critical points of the Mityuk radius in the two-connected case, consisting of one maximum and one saddle, is attained for the linear-fractional solution of the exterior inverse boundary value problem.